1.4.1 Diskretinės sistemos skirtuminė lygtis

Diskretinė sistema gali būti aprašoma įvairiomis išraiškomis. Laikinėje ašyje dažniausiai diskretinė sistema aprašoma naudojant skirtuminės lygties formą.

Kiekvienas diskretinis signalas gali būti apibūdinamas analitine išraiška. Tokia pačia savybe pasižymi ir diskretinės sistemos. Pastovių parametrų tiesinė diskretinė sistema gali būti aprašoma tiesine skirtumine lygtimi su pastoviais koeficientais. Bendru atveju skirtuminė lygtis yra tokio pavidalo:

, n≥0.                                         (1.4.1)

Skirtuminė lygtis yra patogi diskretinės sistemos išraiška. Iš jos galima nustatyti sistemos eilę bei kitas sistemos charakteristikas. Lygties koeficientai ak apibūdina grįžtamą ryšį. Koeficientai bp apibrėžia sistemos įėjimą. Sistemos eilė priklauso nuo N ir M dydžių. Tokio pavidalo skirtuminė lygtis apibūdina sistemą, kurios impulsinė reakcija teoriškai yra neaprėžta. Tai sąlygoja sistemoje esantis grįžtamasis ryšys. Tokios sistemos dar vadinamos neribotos impulsinės reakcijos (NIR) sistemomis.

Sistemos, neturinčios grįžtamo ryšio ir tuo pačiu turinčios baigtines impulsines reakcijas, vadinamos ribotos impulsinės reakcijos sistemomis (RIR). RIR sistemos aprašomos sekančia skirtumine lygtimi:

, n≥0.                                             (1.4.2)

Palyginę šią išraišką su kompozicijos suma (1.2.5), gauname RIR sistemos impulsinę charakteristiką:

.                                                     (1.4.3)

Taigi nustačius RIR sistemos koeficientus bp iškarto surandama ir sistemos impulsinė charakteristika. NIR sistemų atveju dėl egzistuojančio grįžtamo ryšio išraiška (1.4.3) negalioja. Todėl norint nustatyti NIR sistemų impulsinę reakciją reikia išspręsti skirtuminę lygtį. Elementariausias būdas tokios lygties sprendimui – tiesiogiai apskaičiuoti kiekvieną išėjimo sekos narį atsižvelgus į pradines sąlygas.

Sakykim, jog diskretinė sistema aprašoma skirtumine lygtimi

.

Reikia nustatyti tokios sistemos impulsinę reakciją h(n).

Kadangi impulsinė charakteristika yra sistemos reakcija į vienetinį impulsą, vietoj x(n) įėjimo sekos reikės paduoti vienetinio impulso seką: . Tuomet . Laikome, jog diskretinė sistema yra fiziškai realizuojama – sistemos pradinės sąlygos yra nulinės, t.y. .

Tada

, kai ,

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

, kai .

Iš pradinių sąlygų matyti, jog sistema yra fiziškai realizuoja, todėl belieka nustatyti ar sistema yra stabili. Sistemos stabilumas nustatomas pagal (1.2.9) sąlygą.

Jeigu , tai turime begalinę mažėjančią geometrinę progresiją, kurios suma yra baigtinė

 .

Vadinasi tokia skirtumine lygtimi aprašoma diskretinė sistema yra stabili, jei . Tokios diskretinės sistemos impulsinė reakcija pavaizduota 1.4.1 pav.

1.4.1 pav. Apskaičiuota NIR sistemos impulsinė reakcija

 Iš pateikto pavyzdžio matyti, jog nors NIR sistemų impulsinė reakcija yra neribota, tačiau tik nedidelė atskaitų dalis yra žymiai didesnės už likusias atskaitas. Todėl praktinėms reikmėms suskaičiuojamos pagrindinės NIR sistemos impulsinės charakteristikos atskaitos, kurių amplitudės žymiai didesnės už likusias atskaitas. Tačiau tai apriboja impulsinės reakcijos panaudojimą NIR filtrų realizavimui ir charakteristikų nustatymui. Pavyzdžiui NIR sistemas realizuojant kompozicijos sumos pagalba įsivelia charakteristikų netikslumai, nes naudojama tik dalis visos impulsinės charakteristikos. Be to sistema gali netekti stabilumo, jei atmetama dalis impulsinės reakcijos atskaitų. Atsiranda problemų ir nustatant NIR sistemų stabilumą. Gali būti sunku nustatyti impulsinės reakcijos galutinę sumą – tam prireikia skaičiuoti ribas, kai .

Iš pateikto NIR sistemos impulsinės charakteristikos skaičiavimo pavyzdžio tampa aišku, jog skirtuminę lygtį galima panaudoti NIR ir RIR sistemų realizavimui. Tik vietoj vienetinio impulso į įėjimą paduodama filtruojama diskretinė signalo seka.

   

Facebook komentarai