1.4.2 Diskretinės sistemos dažninės charakteristikos

Kiekviena sistema apibūdinama laikinėje ir dažninėje ašyje. Diskretinės sistemos laikiniai parametrai aprašomi impulsine harakteristika, o dažniniai - dažnine charakteristika. Jos tarpusavyje glaudžiai susijusios ir panaudojant Furjė transformaciją galima gauti kažkurią iš dviejų charakteristikų, kai turima kita.

Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika h(n) apibūdina sistemą kaip n funkciją. Kintamasis n dažniausiai yra diskretinio laiko momentas, todėl ir pati charakteristika paprastai yra vadinama laikine.

Tačiau kaip ir diskretinis signalas apibūdinamas ne tik laikine, bet ir dažnine charakteristika (spektras), taip ir diskretinę sistemą galima apibūdinti dažninėmis charakteristikomis. Tarkime, sistemos įėjime veikia kompleksinės eksponentės pavidalo seka

, .                                              (1.4.4)

Ši seka yra periodinė, o periodas lygus 2π, nes pagal Oilerio (L. Euler) formulę galime užrašyti

        (1.4.5)

Įrašę seką (1.4.4) į kompozicijos išraišką (1.2.5), sistemos išėjime gauname:

             (1.4.6)

t.y. tą pačią įėjimo seką, padaugintą iš kompleksinio dydžio

,                                                  (1.4.6)

vadinamo sistemos dažnine charakteristika. Taigi sistemos dažninė charakteristika yra sistemos perdavimo koeficientas kiekvienai dažnio ω reikšmei.

Kaip ir kompleksinė eksponentė , dažninė charakteristika  yra periodinė funkcija:

,               (1.4.7)

todėl užtenka išnagrinėti jos vieną periodą ( ).

Paprastai dažninės charakteristikos vaizduojamos ne kampinio dažnio ω (rad/s) ašyje, paprasto dažnio f (Hz) ašyje. Nustatykime dažninės charakteristikos pasikartojimo periodą Hz ašyje. Kampinis dažnis ω su analoginio signalo dažniu f susijęs priklausomybe

,                                                            (1.4.8)

tačiau kalbant apie diskretizuotą signalą reikia įvertinti ir diskretizavimo dažnį Fd, nuo kurio priklausys imčių kiekis. Tuomet diskretinio signalo atveju (1.4.8) išraiška pakeičiama į (1.4.9) priklausomybę:

.                                                        (1.4.8)

Iš paskutinės išraiškos matosi, jog kampinis dažnis ω įgaus reikšmę 2π tik tada, kai momentinis signalo dažnis bus lygus Fd. Vadinasi diskretinės sistemos dažninė charakteristika pasikartos su periodu Fd.

Dažninei charakteristikai, kaip ir eksponentinei funkcijai galima suteikti rodiklinį pavidalą:

.                                           (1.4.9)

Dažninės charakteristikos modulis vadinamas amplitudės dažnine charakteristika (ADCh), o argumentas – fazine dažnine charakteristika (FDCh).

Paprastai sekos h(n) nariai yra realūs skaičiai, todėl ADCh yra lyginė dažnio ω funkcija, o FDCh – nelyginė. Kaip ir diskretizuoto signalo dažninė charakteristika, diskretinės sistemos ADCh pasižymi simetrija kas Fd/2 arba π – charakteristikos dalis diapazone Fd/2 – Fd yra identiškas veidrodinis atspindys charakteristikos, diapazone 0 – Fd/2. Panašiai elgiasi ir sistemos FDCh, tik reikia įvertinti, jog ji – nelyginė funkcija.

Apskaičiuokime dažninę charakteristiką sistemos, kurios impulsinė charakteristika šitokia:

; a<1.

Pagal (1.4.6) formulę

.

Kadangi a<1, tai turime begalinę mažėjančią progresiją, kurios suma lygi

.

Dažninę charakteristiką išreiškę rodikliniu pavidalu, gauname ADCh

ir FDCh

.

Charakteristikų grafikai pavaizduoti 1.4.2 pav.

1.4.2 pav. Pirmos eilės tiesinės diskretinės sistemos amplitudės dažninė charakteristika   ir fazės dažninė charakteristika .

Reikia atkreipti dėmesį, jog diskretinės sistemos dažninės charakteristikos dažnio ω atžvilgiu yra nediskretinės funkcijos (1.4.2 pav.).

Sistemos dažninę charakteristiką galima gauti ir iš skirtuminės lygties. Jeigu , tai pagal (1.4.6) išraišką . Įrašę šias išraiškas į (1.4.1) lygtį ir išsprendę  atžvilgiu, gauname:

.                                          (1.4.10)

Taikant (1.4.10) išraišką dažninių charakteristikų skaičiavimui reikia nepamiršti, jog dažnis ω – yra kampinis dažnis, kintantis diapazone nuo 0 iki 2π. Verčiant į dažnį hercais, naudojama (1.4.8) išraišką dažnio sunormavimui.

Apskaičiuokime antrosios eilės diskretinės sistemos dažninę charakteristiką. Sistema aprašoma skirtumine lygtimi

.

Remdamiesi (1.4.10) užrašome dažninę charakteristiką:

.

Iš gautos dažninės charakteristikos gavus modulį ir argumentą, gaunamos amplitudės ir fazės dažninės charakteristikos. Charakteristikų grafikai pateikti 1.4.3 pav., kai a1=1,5, a2=0,9 ir b0=1.

1.4.3 pav. ADCh ir FDCh iš skirtuminės lygties

 Taigi diskretinės sistemos dažninė charakteristika gali būti gaunama iš sistemos impulsinės reakcijos arba skirtuminės lygties. Tačiau egzistuoja ir priešinga priklausomybė – žinant dažninę charakteristiką galima gauti impulsinę charakteristiką, o iš jos ir skirtuminę lygtį.

Sistemos dažninė charakteristika  yra periodinė funkcija, todėl gali būti išskleista Furjė eilute. (1.4.6) išraiška ir yra dažninės charakteristikos skleidinys Furjė eilute, o impulsinės reakcijos atskaitos h(n) yra šio skleidinio koeficientai. Remiantis Furjė eilutės teorija h(n), kaip skleidinio koeficientai užrašomi sekančia išraiška:

.                                           (1.4.11)

Taigi (1.4.6) ir (1.4.11) sudaro Furjė transformacijų porą.

Apskaičiuokime idealaus žemutinių dažnių filtro (1.4.4 pav., a) impulsinę charakteristiką.

Filtro dažninė charakteristika intervale –π<ω<π užrašoma šitaip:

 

Impulsinę charakteristiką apskaičiuojame pagal (1.4.11) formulę

Impulsinės charakteristikos grafikas atvejui  pavaizduotas 1.4.4 pav., b.

Šio filtro negalima realizuoti, nes netenkinama sąlyga (1.2.10), t.y.

, kai n<0.

Be to šis filtras yra nestabilus. Praktikoje naudojami realizuojami ir stabilūs filtrai, kurių dažninės charakteristikos yra artimos idealaus žemutinių dažnių filtro dažninei charakteristikai.

1.4.4 pav. Idealaus filtro dažninė ir impulsinė charakteristikos

   

Facebook komentarai