1.4.3 Diskretinių sistemų ir signalų dažninių charakteristikų sąryšis

Turint sistemos (filtro, algoritmo ar tiesiog reikiamą teorinę) dažninę charakteristiką ir žinant signalo spektrą labai paprastu ir elementariu būdu galima realizuoti skaitmeninį filtrą. Tame tarpe ir idealų. Santykinai.

Išsiaiškinkime, kaip susijusios diskretinės sistemos įėjimo ir išėjimo sekų Furjė transformacijos. Pasinaudodami kompozicijos sumos išraiška, galima išvesti tokią priklausomybę:

                                                  (1.4.12)

Taigi išėjimo sekos Furjė transformacija yra lygi įėjimo sekos Furjė transformacijai, padaugintai iš dažninės charakteristikos. Taigi norint surasti išėjimo signalo spektrą, kai turimas įėjimo signalo spektras ir sistemos dažninė charakteristika, užtenka šias charakteristikas sudauginti. Tai žymiai paprastesnė operacija nei kompozicijos suma. Todėl ši priklausomybė dėl savo paprastumo ir patogumo naudojama diskretinėms sistemos realizuoti.

Sakykime iš impulsinio signalo, su skverbtimi n=4 (1.4.5 pav.) reikia išfiltruoti pirmas tris signalo harmonikas.

1.4.5 pav. Testinis signalas laiko ir dažnio ašyje

Uždaviniu spręsti pasinaudosime (1.4.12) priklausomybe. Norint pagal ją surasti išėjimo signalą reikia įėjimo signalo spektrą padauginti iš norimos diskretinės sistemos dažninės charakteristikos. Kaip pavyzdį naudosime 7 eilės Batervorto filtrą, kurio ADCh ir FDCh pateikta 1.4.6 pav.

 

f

 

f

1.4.6 pav. 7 eilės Batervorto filtro ADCh ir FDCh

Kaip matyti iš pateiktų diskretinio signalo ir diskretinės sistemos dažninių charakteristikų, jų sandauga turėtų išpildyti sąlygos reikalavimus. Sandaugos rezultatas pateiktas 1.4.7 pav. Palyginimui pateikta išėjimo signalo spektras kai filtravimas atliekamas ne pagal dažninių charakteristikų sandaugą, bet pagal tokių pat parametrų struktūrinę filtro schemą, realizuotą iš skirtuminės lygties.

1.4.7 pav. Išėjimo signalo spektras atlikus filtravimą dažninių charakteristikų sandaugos metodu ir pagal struktūrinę schemą iš skirtuminės lygties

Kaip matyti iš 1.4.7 pav. išėjimo signalo amplitudžių spektras yra praktiškai identiškas. Taigi dažninių charakteristikų sandaugą yra labai patogus ir greitas metodas nufiltruoti norimą signalą. Tačiau šis metodas turi keletą trūkumų – jį galima taikyti tik įėjimo signalo spektrinei charakteristikai. Signalo spektras gali būti gaunamas tik iš GFT algoritmo, kuris savu ruožtu reikalauja nemažai procesoriaus resursų. Kitaip tariant, dažninių charakteristikų sandaugos metodas neleidžia tiesiogiai filtruoti laikinio signalo. Be to išėjime gauname ne nufiltruotą laikinį signalą, o signalo spektrą. Jei išėjime reikalingas nufiltruotas laikinis signalas, teks dar kartą taikyti Furjė transformaciją ir dažninę ašį transformuoti į laikinę. Tai atliekama pasinaudojus formule

,

čia Θk – išėjimo signalo spektro dedamosios fazė.

Norint pagal pateiktą išraišką atkurti tikslią nufiltruoto signalo formą, reikia įvertinti visas išėjimo spektro dedamąsias. Praktiškai tai yra neišpildoma sąlyga, todėl apsiribojama didžiausią amplitudę turinčių harmonikų sumavimu. Svarbu nepamiršti įvertinti ir nufiltruoto signalo spektro dedamųjų fazę (1.4.8 pav.), kuri į suminį signalą įneša didelę įtaką.

 

f

1.4.8 pav. Nufiltruoto signalo spektro fazinė charakteristika

Gauti rezultatai atlikus pirmų trijų spektro dedamųjų sumą be fazės įvertinimo ir su fazės įvertinimu pateikti 1.4.9 pav. Palyginimui pateiktas laikinis išėjimo signalas, gautas nufiltravus su filtru, realizuotu pagal struktūrinę schemą iš skirtuminės lygties. Iš pateiktų grafikų galima pastebėti, jog pagal struktūrinę schemą veikiantis filtras įneša išėjimo signalo vėlavimą dėlei pereinamųjų procesų – to neturi dažninių charakteristikų sandaugos metodas. Tačiau iš pastarojo metodo sunku tiksliai atkurti laikinį išėjimo signalą, nes neįvertinamos visos išėjimo harmonikos. Sumuojant harmonikas be fazės įvertinimo išėjimo signalas persistumia laike – kitaip tariant prarandama informacija apie pradinę fazę.

1.4.9 pav. Skirtingais metodais atkurtas testinis išėjimo signalas laiko ašyje

 

Dviejų laipsniškai sujungtų sistemų (1.2.6 pav.) impulsinė charakteristika yra išreikšta kompozicijos suma (1.2.7), todėl, remdamiesi analogija, galima užrašyti, jog atstojamoji dažninė charakteristiką bus lygi charakteristikų sandaugai:

                                              (1.4.13)

Kaip ir impulsinių charakteristikų atveju sistemų sujungimo tvarka atstojamai dažninei charakteristikai neturi reikšmės. 

   

Facebook komentarai